Σοκαριστικό: Τι μυστήρια κρύβει το χειρόγραφο του Αρχιμήδη για το άπειρο;

Επρόκειτο για ένα μυστηριώδες χειρόγραφο του Αρχιμήδη, χαμένο για αιώνες. Ακόμα κι όταν βρέθηκε ήταν δύσκολο να αποκρυπτογραφηθεί! Τώρα όμως αποκάλυψε μυστικά που...αλλάζουν την σύγχρονη ως τώρα άποψη για το βάθος της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής σκέψης.

Το χειρόγραφο, γνωστό με το όνομα "Archimedes Palimpsest", περιέχει μεταξύ άλλων το μοναδικό αντίγραφο των «Θεωρημάτων Μηχανικής» του Αρχιμήδη, στο οποίο ο αρχαίος 'Eλληνας μαθηματικός εξηγεί πώς χρησιμοποιούσε μηχανικά μέσα για να αποδείξει κάποια μαθηματικά του θεωρήματα.

Το χειρόγραφο αυτό, βρέθηκε τυχαία το 1906 σε μια βιβλιοθήκη της Κωνσταντινούπολης, από τον Δανό φιλόλογο Johan Ludvig Heiberg. 'Oμως συνάντησε ανυπέρβλητες δυσκολίες στην ανάγνωσή του. Πάνω στο αρχαίο κείμενο των μαθηματικών του Αρχιμήδη είχε γραφτεί ένας χριστιανικός ύμνος και αυτό έκανε πολύ δύσκολη την αποκατάσταση του αρχικού κειμένου.

Για πολλές δεκαετίες το χειρόγραφο θεωρήθηκε ξανά χαμένο ώσπου ξαφνικά ο Οίκος Δημοπρασιών Christie's το έβγαλε σε δημοπρασία το 1998. Τελικά κατέληξε στο Walters Art Museum της Βαλτιμόρης των Η.Π.Α.

Εκεί το είδαν και το μελέτησαν πιο συστηματικά οι καθηγητές Netz και Saito το 2001. Η έρευνα, τους έφερε μπροστά σε μια απρόσμενη αλλά σημαντική διαπίστωση ... Ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να θεμελιώσει την Μαθηματική Ανάλυση, κάτι που θεωρείται κατόρθωμα του καιρού μας και προϊόν της μαθηματικής επανάστασης που ξεκίνησε απ' το 16ο αιώνα. Κάτι που προϋποθέτει την έννοια του μαθηματικού απείρου.

Η μέχρι τώρα εντύπωση που είχαμε για τα μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα, ήταν ότι οι 'Eλληνες απέφευγαν να καταπιαστούν με την έννοια του «Απείρου» και να χειριστούν άπειρα μεγάλα σύνολα. Αυτό θεωρούνταν κατόρθωμα της εποχής μας (από τον 17ο αιώνα και μετά)!

Φαίνεται όμως ότι το αρχαίο χειρόγραφο περιέχει και άλλα μυστήρια, επειδή ο Netz και οι συνεργάτες συνεχίζουν τη μελέτη του, όχι μόνο υπό κοινό φωτισμό αλλά και με τη χρήση υπεριώδους ακτινοβολίας. Ποια άλλα καταπληκτικά μυστικά θα μας αποκαλύψει ακόμα που θα κάνουν την ιστορία να πρέπει να ξαναγραφτεί;

Πηγή:http://www.briefingnews.gr/

Τραπέζιο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Τραπέζιο στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές. Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το ισοσκελές τραπέζιο.

Ιδιότητες

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓΔ ένα τραπέζιο με βάσεις ΑΒ, ΓΔ και ΑΓ η διαγώνιος. Από το μέσο Ε της ΑΔ φέρνουμε ευθεία ε παράλληλα προς την ΔΓ. Στο τρίγωνο ΑΔΓ η ε διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΔ και είναι παράλληλη στην πλευρά ΓΔ, άρα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς ΑΓ, ας το πούμε Η, και έτσι τα ΕΗ, ΓΔ/2 είναι ίσα και παράλληλα. Όμοια, στο τρίγωνο ΑΒΓ το Η είναι μέσο της ΑΓ και η ΗΖ παράλληλη στην ΑΒ, άρα το Ζ θα είναι το μέσο της ΒΓ και έτσι τα ΖΗ, ΑΒ/2 ειναι ίσα και παράλληλα. Συνεπώς η ΕΖ θα είναι η διάμεσος του τραπεζίου και θα ισχύει

Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και τους αποκόπτει τμήμα ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Απόδειξη: Για τους ίδιους λόγους όπως στην προηγούμενη ιδιότητα, το Θ είναι το μέσον της ΒΔ. Είναι:
Το ΘΗ είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου.

Τρίγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ένα ευκλείδειο τρίγωνο

Το τρίγωνο στην γεωμετρία είναι επίπεδο γεωμετρικό σχήμα. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την Τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Το τρίγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία

Ταξινόμηση με βάση τα κύρια στοιχεία του τριγώνου

Ταξινόμηση των τριγώνων με βάση τα κύρια στοιχεία τους.

Ανάλογα με τις πλευρές του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

• Σκαληνό, όταν οι τρεις πλευρές του είναι άνισες μεταξύ τους.
• Ισοσκελές, όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.
• Ισόπλευρο, όταν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ανάλογα με τις γωνίες του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

• Οξυγώνιο, όταν όλες οι γωνίες του είναι οξείες.
• Ορθογώνιο, όταν μία γωνία του είναι ορθή.
• Αμβλυγώνιο, όταν μία γωνία του είναι αμβλεία.

.

Ισόπλευρο	Ισοσκελές	Αμβλυγώνιο σκαληνό	Αμβλυγώνιο σκαληνό	Οξυγώνιο σκαληνό	Ορθογώνιο σκαληνό

Κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία. Για να συμπεράνουμε ωστόσο την ισότητα δύο τριγώνων αρκεί να ελέγξουμε λιγότερα από έξι στοιχεία κάθε φορά.
Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση.
Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ και ΔΕΖ τρίγωνα για τα οποία ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = Δ (ισότητα γωνιών). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες ΑΒ και ΔΕ. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών ΑΓ και ΔΖ. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του Β με το Ε και του Γ με το Ζ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.
Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση.
Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με Β = Ε (ισότητα γωνιών), Γ = Ζ (ισότητα γωνιών) και ΒΓ = ΕΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = ΔΕ, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ΑΒ > ΔΕ. Θα υπάρχει στην ΑΒ σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ. Θεωρούμε την ΗΓ. Επειδή το Η είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα είναι ΗΓΒ < Γ (ανισότητα γωνιών). Τα ΗΒΓ και ΔΕΖ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ΗΓΒ = Ζ (ισότητα γωνιών), που είναι άτοπο επειδή Ζ = Γ > ΗΓΒ (ανισότητα γωνιών). Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΔΕ.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες.
Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΑΒ = ΔΕ, ΒΓ = ΕΖ και ΑΓ = ΔΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι Α = Δ (ισότητα γωνιών), οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία Εχ έτσι ώστε ΖΕχ = Β (ισότητα γωνιών). Στην Εχ θεωρούμε το σημείο Η για το οποίο ΗΕ = ΑΒ. Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ και ΔΗ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΕΖ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ΗΖ = ΑΓ και Η = Α (ισότητα γωνιών). Τα τρίγωνα ΕΔΗ και ΖΔΗ είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε Δ₁ = Η₁ και Δ₂ = Η₂ (ισότητες γωνιών). Συνεπώς έχουμε Α = Η = Η₁ + Η₂ = Δ₁ + Δ₂ = Δ.

Ιδιότητες

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ισούται με μία πλήρη γωνία

Απόδειξη: Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη χΆχ προς την απέναντι πλευρά ΒΓ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι χ'Αχ, ΒΓ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών χ'ΑΒ = Β και χΑΓ = Γ, ως ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών, άρα:

Α + Β + Γ = Α + χ'ΑΒ + χΑΓ = 180°

• Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών.

• Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν ΚΆ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς το Λ τότε το ΑΚΆΓΚ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΚΚΆ διχοτομούνται. Τότε τα Κ'Γ και ΑΚ είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα Κ'Γ, ΚΒ· άρα το ΚΚΆΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές. Τότε έχουμε: ΚΚ', ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα 2ΚΛ, ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα ΚΛ, ΒΓ/2 παράλληλα και ίσα.

• Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Η παράλληλη από το μέσο πλευράς προς άλλη πλευρά διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ τρίγωνο και Κ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε Κχ παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Λ. Αν υποθέσουμε ότι είναι το μέσο της ΑΓ, τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ΚΛΆ θα είναι παράλληλη προς τη ΒΓ. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το Κ θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη ΒΓ.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Σφαιρικό τρίγωνο

Κύριο λήμμα: Σφαιρικό τρίγωνο

Σφαιρικό τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που υποτυπώνεται στην επιφάνεια της σφαίρας και του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων αυτής, που τέμνονται ανά δύο.

Τετράγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Τετράγωνο.

Τετράγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος ταυτόχρονα.

Ιδιότητες

• Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν τα εξής:

1. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
2. Όλες οι πλευρές είναι ίσες.
3. Όλες οι γωνίες είναι ορθές.
4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του.

• Κριτήρια τετραγώνου: Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Μία γωνία είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
2. Μία γωνία είναι ορθή και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία.
3. Μία γωνία είναι ορθή και οι διαγώνιοι κάθετες.
4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
5. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και μία από αυτές διχοτομεί μία γωνία.
6. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και κάθετες.

Μέθοδος κατασκευής ενός τετραγώνου με χάρακα και διαβήτη.

Ελλάδα μου όμορφη.Η καλύτερη χώρα!Κάτω η νέα τάξη πραγμάτων που θα διαλύσει Ελλάδα-Ορθοδοξία.

 7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο

Καμία από τις καθημερινές μας συνήθειες δεν θα ήταν εφικτή χωρίς τις επτά εξισώσεις

 Το ξυπνητήρι χτυπάει. Κοιτάζετε το ρολόι. Η ώρα είναι 6.30 το πρωί. Δεν έχετε καλά-καλά σηκωθεί από το κρεβάτι και ήδη τουλάχιστον έξι μαθηματικές εξισώσεις έχουν μπει στη ζωή σας. Το τσιπάκι της μνήμης που αποθηκεύει την ώρα στο ρολόι σας δεν θα μπορούσε να φτιαχτεί χωρίς μια βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής. Η ώρα του έχει οριστεί από ένα ραδιοηλεκτρικό σήμα το οποίο δεν θα είχαμε επινοήσει ούτε στα όνειρά μας χωρίς τις τέσσερις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ. Αυτό δε το σήμα μεταδίδεται με βάση τον τύπο που είναι γνωστός ως κυματική εξίσωση. Κολυμπάμε συνεχώς σε έναν κρυφό ωκεανό εξισώσεων. Υπάρχουν πίσω από τις μεταφορές, το οικονομικό σύστημα, την Υγεία, την πρόληψη και τη διερεύνηση του εγκλήματος, τις επικοινωνίες, το φαγητό, το νερό, τη θέρμανση και τον φωτισμό μας.

Οταν μπαίνετε στο ντους εξισώσεις ρυθμίζουν την παροχή του νερού σας. Τα δημητριακά στο πρωινό σας προέρχονται από σοδειές που καλλιεργήθηκαν με τη βοήθεια στατιστικών εξισώσεων. Το αεροδυναμικό σχήμα του αυτοκινήτου με το οποίο πηγαίνετε στη δουλειά σας οφείλεται ως έναν βαθμό στις εξισώσεις Ναβιέ - Στρόουκς που περιγράφουν πώς ο αέρας ρέει γύρω του. Ανοίγοντας τον πλοηγό σας μπαίνετε ξανά στο πεδίο της Κβαντικής Φυσικής, όπως και σε αυτό των νόμων του Νεύτωνα για την κίνηση και τη βαρύτητα, οι οποίοι βοήθησαν στην εκτόξευση και στον καθορισμό της τροχιάς των γεωδαιτικών δορυφόρων. Η συσκευή χρησιμοποιεί επίσης εξισώσεις-γεννήτριες τυχαίων αριθμών για τον συγχρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, καθώς και την ειδική και γενική σχετικότητα για την ακριβή ανίχνευση της κίνησης των δορυφόρων υπό τη βαρύτητα της Γης.
Χωρίς εξισώσεις το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα είχε εφευρεθεί ποτέ. Βεβαίως σημαντικές εφευρέσεις όπως η φωτιά και ο τροχός προήλθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Παρ' όλα αυτά χωρίς τις εξισώσεις θα βρισκόμασταν ακόμη σε έναν κόσμο του Μεσαίωνα.
Οι εξισώσεις δεν περιορίζονται όμως μόνο στην τεχνολογία. Χωρίς αυτές δεν θα κατανοούσαμε τη Φυσική που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην ακτή, τις συνεχείς μεταβολές του καιρού, τις κινήσεις των πλανητών, τα πυρηνικά καμίνια των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του Σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό.
Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά στις οποίες επικεντρώνομαι εδώ – η κυματική εξίσωση, οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ, ο μετασχηματισμός του Φουριέ και η εξίσωση του Σρέντινγκερ – απεικονίζουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις οδήγησαν σε εξισώσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.
Ενας κόσμος κυμάτων
Κατ' αρχάς, η κυματική εξίσωση. Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αφτιά μας ανιχνεύουν κύματα συμπίεσης στον αέρα ως ήχους, ενώ τα μάτια μας ανιχνεύουν κύματα φωτός. Οταν ένας σεισμός πλήττει μια πόλη, η καταστροφή προκαλείται από σεισμικά κύματα που κινούνται μέσα στη Γη. Θα ήταν δύσκολο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες να μην προβληματιστούν σχετικά με τα κύματα, η αφορμή όμως ήρθε από τις τέχνες: πώς παράγει ήχο ένα βιολί; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαιότητα και στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι αν τα μήκη δύο χορδών ίδιου είδους και τάσης διέπονται από έναν απλό λόγο όπως 2:1 ή 3:2, τότε παράγουν νότες οι οποίες όταν παίζονται μαζί ακούγονται ασυνήθιστα αρμονικές. Οι πιο σύνθετοι λόγοι είναι δυσαρμονικοί και δυσάρεστοι στο αφτί. Ο ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Μπερνούλι ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 απεικόνισε τη χορδή ενός βιολιού σαν έναν τεράστιο αριθμό από πυκνά σημεία μάζας που συνδέονται μεταξύ τους με ελάσματα. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να εξαγάγει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και στη συνέχεια τις έλυσε. Από τις λύσεις συμπέρανε ότι το απλούστερο σχήμα για μια παλλόμενη χορδή είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι δόνησης – ημιτονοειδείς καμπύλες στις οποίες περισσότερα από ένα κύματα ταιριάζουν στο μήκος της χορδής, γνωστές στους μουσικούς ως αρμονικές.
Ντ'Αλαμπέρ: Βιολιά και σεισμοί
Σχεδόν 20 χρόνια μετά, ο Ζαν λε Ρον ντ' Αλαμπέρ ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία. Επικεντρώθηκε όμως στην απλοποίηση των εξισώσεων της κίνησης και όχι στη λύση τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση η οποία περιγράφει πώς το σχήμα της χορδής αλλάζει με τον χρόνο. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση οποιουδήποτε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που επιδρά σε αυτήν. Αυτό υποδηλώνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν παρουσιάζουν μια αναλογία απλών αριθμών παράγουν έναν δυσάρεστο θόρυβο σαν βουητό ο οποίος είναι γνωστός ως «διακροτήματα» (beats). Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απλοί αριθμητικοί λόγοι δίνουν νότες που ακούγονται αρμονικές.
Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να χειριστεί πιο σύνθετα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες μορφές της κυματικής εξίσωσης επιτρέπουν στους σεισμολόγους να ανιχνεύσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές γλιστρούν η μία κάτω από την άλλη προκαλώντας σεισμούς και ηφαιστειακές εκρήξεις. Το μεγαλύτερο τρόπαιο σε αυτόν τον τομέα θα ήταν ένας αξιόπιστος τρόπος πρόβλεψης των σεισμών και των ηφαιστειακών εκρήξεων και πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται γι' αυτόν τον σκοπό βασίζονται στην κυματική εξίσωση.
Από την άμαξα στον τηλέγραφο
Οι εξισώσεις κρύβονται ακόμη και πίσω από τις καλλιέργειες που φέρνουν τα δημητριακά στο πρωινό μας.
Η πιο σημαντική όμως έμπνευση που πρόσφερε η κυματική εξίσωση γεννήθηκε με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820 οι περισσότεροι άνθρωποι φώτιζαν τα σπίτια τους με κεριά και φανάρια. Αν θέλατε να στείλετε κάποιο μήνυμα, γράφατε ένα γράμμα και το βάζατε σε μια άμαξα που την έσερναν άλογα· για τα επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την άμαξα. Μέσα σε 100 χρόνια τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, σήματα μεταφέρονταν με τον τηλέγραφο από ήπειρο σε ήπειρο και οι άνθρωποι άρχισαν ακόμη και να μιλάνε ο ένας στον άλλον από μακριά μέσω τηλεφώνου. Η ραδιοεπικοινωνία είχε αποδειχθεί στο εργαστήριο και ένας επιχειρηματίας είχε στήσει μια επιχείρηση πουλώντας «ασύρματα» στο κοινό.
Η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση πυροδοτήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830 ο Μάικλ Φαραντέι έθεσε τα θεμέλια της Φυσικής του Ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα ο Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ ξεκίνησε την αναζήτησή του προσπαθώντας να διατυπώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Φαραντέι.
Φαραντέι: τα πεδία
Την εποχή εκείνη οι περισσότεροι φυσικοί που εργάζονταν στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό αναζητούσαν αναλογίες με τη βαρύτητα, την οποία έβλεπαν ως μια δύναμη που επενεργεί σε δύο σώματα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Ο Φαραντέι είχε μια διαφορετική ιδέα: για να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που έκανε σε σχέση με τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό υποστήριξε ότι και τα δύο φαινόμενα είναι πεδία τα οποία διαχέονται στον χώρο, αλλάζουν με τον χρόνο και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Φαραντέι διετύπωσε τις θεωρίες του με τους όρους γεωμετρικών σχημάτων, όπως οι γραμμές μαγνητικής δύναμης.
Ο Μάξγουελ επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες κατ' αναλογία με τα Μαθηματικά της ροής των ρευστών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές της δύναμης ήταν ανάλογες με τις διαδρομές που ακολουθούν τα μόρια ενός ρευστού και ότι η ένταση του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Ως το 1864 ο Μάξγουελ είχε διατυπώσει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα ηλεκτρικά και στα μαγνητικά πεδία. Οι δύο μάς λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν σε μεγάλη απόσταση. Οι άλλες δύο μάς λένε ότι όταν μια περιοχή ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κυκλικά δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, ενώ μια περιστρεφόμενη περιοχή μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.
Μάξγουελ: Φως στο φως
Εκείνο όμως το οποίο έκανε όλα αυτά τόσο εκπληκτικά ήταν αυτό που ο Μάξγουελ έκανε στη συνέχεια. Κάνοντας μερικές απλές μετατροπές στις εξισώσεις του, μπόρεσε να εξαγάγει την κυματική εξίσωση και συμπέρανε ότι το φως θα πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό και μόνο ήταν καταπληκτικό, εφόσον κανείς ως τότε δεν είχε φανταστεί μια τόσο θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Το φως υπάρχει σε διάφορα χρώματα, αντίστοιχα με διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που εμείς βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ οδήγησαν σε μια συγκλονιστική πρόβλεψη – ότι ήταν δυνατόν να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κάποια από αυτά, με μήκη κύματος μεγαλύτερα από αυτά που μπορούμε να δούμε, θα άλλαζαν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα.
Το 1887 ο Χάινριχ Χερτς απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα. Δεν υπολόγισε όμως την πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Αν μπορούσε κανείς να εντυπώσει ένα σήμα επάνω σε ένα τέτοιο κύμα θα μπορούσε να μιλήσει στον κόσμο. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Γουλιέλμος Μαρκόνι και άλλοι έκαναν το όνειρο αυτό πραγματικότητα και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση ως το ραντάρ και τις ζεύξεις μικροκυμάτων για τα κινητά τηλέφωνα, ήταν ένα φυσικό επακόλουθο. Και όλα προήλθαν από τέσσερις εξισώσεις και δύο σύντομους υπολογισμούς. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δεν άλλαξαν απλώς τον κόσμο. Ανοιξαν έναν καινούργιο.
Εξίσου σημαντικά με αυτά που περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι εκείνα που δεν περιγράφουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως είναι κύμα, οι φυσικοί σύντομα ανακάλυψαν ότι η συμπεριφορά του μερικές φορές δεν συμβάδιζε με αυτή την άποψη. Αν ρίξετε φως σε ένα μέταλλο παράγεται ηλεκτρισμός – ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Αυτό θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφερόταν σαν σωματίδιο. Ηταν λοιπόν το φως κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα ήταν και τα δύο. Η ύλη αποτελείται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτοδεμένη δέσμη κυμάτων ενεργεί σαν σωματίδιο.
Σρέντινγκερ: Νεκρή ή ζωντανή;
Στον παράξενο κόσμο των κβαντικών υπολογισμών του Σρέντιγκερ μια γάτα μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή ταυτοχρόνως.
Το 1927 ο Ερβιν Σρέντινγκερ ανέπτυξε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Αυτή ταίριαζε άψογα στα πειράματα, ενώ παράλληλα περιέγραφε έναν πολύ παράξενο κόσμο, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι αυστηρά καθορισμένα αντικείμενα αλλά νέφη πιθανοτήτων. Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός ηλεκτρονίου είναι σαν ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να είναι μισό κορόνα - μισό γράμματα ώσπου να πέσει στο τραπέζι. Σύντομα οι θεωρητικοί άρχισαν να προβληματίζονται για ένα σωρό κβαντικές παραξενιές, όπως οι γάτες που ήταν ταυτοχρόνως νεκρές και ζωντανές και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδιζε τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο.
Η Κβαντομηχανική δεν περιορίζεται όμως μόνο σε φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλες οι σύγχρονες συσκευές – ηλεκτρονικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες βιντεοπαιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – έχουν τσιπ μνήμης που βασίζονται στο τρανζίστορ, του οποίου η λειτουργία βασίζεται στην Κβαντομηχανική των Ημιαγωγών. Νέες χρήσεις της Κβαντομηχανικής φθάνουν σχεδόν κάθε εβδομάδα. Οι κβαντικές τελείες – μικροσκοπικοί «σβώλοι» ημιαγωγών – μπορούν να εκπέμψουν φως οποιουδήποτε χρώματος και χρησιμοποιούνται στις βιολογικές απεικονίσεις, όπου μπορούν να αντικαταστήσουν τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, χρωστικές. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να επινοήσουν έναν κβαντικό υπολογιστή ο οποίος θα μπορεί να εκτελεί πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς παράλληλα, σαν τη γάτα που είναι μαζί νεκρή και ζωντανή.
Τα λέιζερ αποτελούν μιαν άλλη εφαρμογή της Κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά «λακκάκια» στους δίσκους CD, DVD και Blu-ray. Οι αστρονόμοι τα χρησιμοποιούν για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη ως τη Σελήνη. Ισως ακόμη και να ήταν δυνατόν να εκτοξεύσουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη επάνω σε μια ισχυρή ακτίνα λέιζερ.
Φουριέ: πάνω απ' όλα η μέθοδος
Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία έρχεται από μια εξίσωση η οποία μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Αρχίζει το 1807, όταν ο Ζοζέφ Φουριέ επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε το σχετικό άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, όμως αυτό απερρίφθη. Το 1812 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Φουριέ υπέβαλε ένα μακροσκελέστερο, αναθεωρημένο άρθρο – και κέρδισε.
Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά του βραβευμένου άρθρου του Φουριέ δεν ήταν η εξίσωση αλλά ο τρόπος με τον οποίο την έλυσε. Ενα βασικό πρόβλημα ήταν το να βρει κανείς πώς η θερμότητα κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου αλλάζει με τον χρόνο με βάση το πρότυπο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Φουριέ θα μπορούσε να λύσει την εξίσωση άνετα αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου. Απεικόνισε ένα πιο σύνθετο πρότυπο με έναν συνδυασμό ημιτονοειδών καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη και πρόσθεσε αυτές τις λύσεις μεταξύ τους. Ο Φουριέ υποστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οποιοδήποτε πρότυπο, ακόμη και για εκείνα στα οποία η θερμοκρασία αλλάζει απότομα τιμή. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να προσθέσει κανείς έναν άπειρο αριθμό συνιστωσών από ημιτονοειδείς καμπύλες.
Παρ' όλα αυτά το νέο άρθρο του Φουριέ επικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και για ακόμη μία φορά η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα έγινε γραμματέας της Ακαδημίας, έβγαλε τη γλώσσα στους επικριτές του και δημοσίευσε την αρχική εργασία στην επιθεώρηση της Ακαδημίας. Ωστόσο οι επικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα όντα: δεν συμπεριφέρονταν πάντα σαν τα ωραία, πεπερασμένα αθροίσματα. Η επίλυση αυτών των ζητημάτων αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, όμως η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Φουριέ θα μπορούσε να τεκμηριωθεί πλήρως αποκλείοντας τα εξαιρετικά άτακτα πρότυπα. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός του Φουριέ, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες υπολογίζοντας τα πλάτη και τις συχνότητές τους.
Παρών σε κάθε «κλικ»
Σήμερα ο μετασχηματισμός του Φουριέ επηρεάζει τη ζωή μας με χίλιους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα της δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται στο έδαφος είναι μεγαλύτερη. Ενα βήμα για την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να εξασφαλίσει κανείς ότι οι προτιμώμενες συχνότητες του κτιρίου διαφέρουν από αυτές της σεισμικής δόνησης.
Αλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την απάλειψη του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της απεικόνισης με ακτίνες Χ, τη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και την αποφυγή ανεπιθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα. Επίσης όλοι μας επωφελούμαστε από αυτήν κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.

Ο κ. Ιαν Στιούαρτ είναι καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ της Βρετανίας.

O μεγαλύτερος πρώτος αριθμός

Αποτελείται από 17.425.170 ψηφία!

 

Ανακαλύφθηκε ένας πρώτος αριθμός με περισσότερα από 17 εκατομμύρια ψηφία

Μιζούρι 

Αμερικανός μαθηματικός ανακάλυψε έναν νέο πρώτο αριθμό που αποτελείται από 17.425.170 ψηφία και είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε αυτή τη στιγμή. Ο νέος βασιλιάς των πρώτων αριθμών πήρε τα σκήπτρα από έναν πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε το 2008 και αποτελείται από 12.978.189 ψηφία. Το 2009 ανακαλύφθηκε άλλος ένας πρώτος αριθμός που όμως ήταν μικρότερος από εκείνον του 2008.

Οι πρώτοι

Ως πρώτος αριθμός ορίζεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας, του οποίου οι μοναδικοί φυσικοί διαιρέτες είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν ένα τομέα των μαθηματικών που οι επιστήμονες μελετούν και ερευνούν διαχρονικά. Αν και οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος εντούτοις δεν έχει αναπτυχθεί μια μέθοδος που να υποδεικνύει με εύκολο τρόπο τους αριθμούς αυτούς. Η ανακάλυψή τους απαιτεί εντατικούς υπολογισμούς και τα τελευταία χρόνια η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει βοηθήσει τα μέγιστα στην εύρεση νέων πρώτων αριθμών.

Το πρόγραμμα

Πριν από μερικά χρόνια δημιουργήθηκε το πρόγραμμα GIMPS στο οποίο χιλιάδες εθελοντές προσφέρουν την ισχύ των υπολογιστών τους δημιουργώντας ένα πανίσχυρο δίκτυο που ασχολείται αποκλειστικά με τον υπολογισμό πρώτων αριθμών.

Ο Κρίς Κούπερ, μαθηματικός του Πανεπιστημίου Κεντρικού Μιζούρι, είναι μέλος του GIMPS και έχει ανακαλύψει και στο παρελθόν πρώτους αριθμούς. Αυτή τη φορά όμως έσπασε κυριολεκτικά τα κοντέρ αφού ο 2^57,885,161 − 1 είναι ένα «τέρας» 17.425.170 ψηφίων. Είναι ενδεικτικό ότι για την πρώτη επαλήθευση του αριθμού που ανακάλυψε ο Κούπερ χρησιμοποιήθηκε ο υπολογιστής ενός πανεπιστημίου που χρειάστηκε 39 μέρες για ολοκληρώσει την επεξεργασία των δεδομένων. Στη συνέχεια η ανακάλυψη επαληθεύτηκε και από άλλους ερευνητές.

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αριθμός του Κούπερ ανήκει σε μια ειδική κατηγορία των πρώτων αριθμών, τους αριθμούς Μερσέν. Είναι οι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή 2ⁿ − 1, όπου ο p είναι πρώτος αριθμός. Ο Κούπερ θα λάβει τρεις χιλιάδες δολάρια από το GIMPS για την ανακάλυψή του. Η οργάνωση Electronic Frontier Foundation έχει θεσπίσει δύο σημαντικά χρηματικά βραβεία (150.000 και 250.000 δολαρίων) για την ανακάλυψη των πρώτων πρώτων αριθμών με πάνω από  100 εκατομμύρια ψηφία και πάνω από 1 δισεκατομμύριο ψηφία αντίστχοιχα.