Τρίγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ένα ευκλείδειο τρίγωνο

Το τρίγωνο στην γεωμετρία είναι επίπεδο γεωμετρικό σχήμα. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την Τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Το τρίγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία

Ταξινόμηση με βάση τα κύρια στοιχεία του τριγώνου

Ταξινόμηση των τριγώνων με βάση τα κύρια στοιχεία τους.

Ανάλογα με τις πλευρές του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

• Σκαληνό, όταν οι τρεις πλευρές του είναι άνισες μεταξύ τους.
• Ισοσκελές, όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.
• Ισόπλευρο, όταν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ανάλογα με τις γωνίες του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

• Οξυγώνιο, όταν όλες οι γωνίες του είναι οξείες.
• Ορθογώνιο, όταν μία γωνία του είναι ορθή.
• Αμβλυγώνιο, όταν μία γωνία του είναι αμβλεία.

.

Ισόπλευρο	Ισοσκελές	Αμβλυγώνιο σκαληνό	Αμβλυγώνιο σκαληνό	Οξυγώνιο σκαληνό	Ορθογώνιο σκαληνό

Κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία. Για να συμπεράνουμε ωστόσο την ισότητα δύο τριγώνων αρκεί να ελέγξουμε λιγότερα από έξι στοιχεία κάθε φορά.
Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση.
Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ και ΔΕΖ τρίγωνα για τα οποία ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = Δ (ισότητα γωνιών). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες ΑΒ και ΔΕ. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών ΑΓ και ΔΖ. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του Β με το Ε και του Γ με το Ζ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.
Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση.
Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με Β = Ε (ισότητα γωνιών), Γ = Ζ (ισότητα γωνιών) και ΒΓ = ΕΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = ΔΕ, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ΑΒ > ΔΕ. Θα υπάρχει στην ΑΒ σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ. Θεωρούμε την ΗΓ. Επειδή το Η είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα είναι ΗΓΒ < Γ (ανισότητα γωνιών). Τα ΗΒΓ και ΔΕΖ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ΗΓΒ = Ζ (ισότητα γωνιών), που είναι άτοπο επειδή Ζ = Γ > ΗΓΒ (ανισότητα γωνιών). Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΔΕ.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες.
Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΑΒ = ΔΕ, ΒΓ = ΕΖ και ΑΓ = ΔΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι Α = Δ (ισότητα γωνιών), οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία Εχ έτσι ώστε ΖΕχ = Β (ισότητα γωνιών). Στην Εχ θεωρούμε το σημείο Η για το οποίο ΗΕ = ΑΒ. Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ και ΔΗ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΕΖ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ΗΖ = ΑΓ και Η = Α (ισότητα γωνιών). Τα τρίγωνα ΕΔΗ και ΖΔΗ είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε Δ₁ = Η₁ και Δ₂ = Η₂ (ισότητες γωνιών). Συνεπώς έχουμε Α = Η = Η₁ + Η₂ = Δ₁ + Δ₂ = Δ.

Ιδιότητες

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ισούται με μία πλήρη γωνία

Απόδειξη: Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη χΆχ προς την απέναντι πλευρά ΒΓ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι χ'Αχ, ΒΓ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών χ'ΑΒ = Β και χΑΓ = Γ, ως ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών, άρα:

Α + Β + Γ = Α + χ'ΑΒ + χΑΓ = 180°

• Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών.

• Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν ΚΆ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς το Λ τότε το ΑΚΆΓΚ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΚΚΆ διχοτομούνται. Τότε τα Κ'Γ και ΑΚ είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα Κ'Γ, ΚΒ· άρα το ΚΚΆΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές. Τότε έχουμε: ΚΚ', ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα 2ΚΛ, ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα ΚΛ, ΒΓ/2 παράλληλα και ίσα.

• Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Η παράλληλη από το μέσο πλευράς προς άλλη πλευρά διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ τρίγωνο και Κ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε Κχ παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Λ. Αν υποθέσουμε ότι είναι το μέσο της ΑΓ, τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ΚΛΆ θα είναι παράλληλη προς τη ΒΓ. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το Κ θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη ΒΓ.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Σφαιρικό τρίγωνο

Κύριο λήμμα: Σφαιρικό τρίγωνο

Σφαιρικό τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που υποτυπώνεται στην επιφάνεια της σφαίρας και του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων αυτής, που τέμνονται ανά δύο.