Γεωμετρία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

Ιστορία

Χρήση της τριγωνομετρίας για τον υπολογισμό του ύψους

Οκτάεδρο

Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαγωνίου του, περίπου ίσο με 3+1/8.

Σχήμα Ευκλείδειας γεωμετρίας

Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι αρχαίοι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο. Για τους Πυθαγορείους η γεωμετρία είναι μία εκ των τεσσάρων επιστημών, οι οποίες αποτελούν μέρος της φιλοσοφίας και θεολογίας τους. Συσχετίζουν μάλιστα εννοιολογικά την γεωμετρία με τις υπόλοιπες τρεις επιστήμες τους: την αριθμητική, την μουσική και την αστρονομία. Αργότερα, ο Πλάτωνας παρουσίασε τις αριθμητικές και τις γεωμετρικές έννοιες ως τον ιδανικό κόσμο, ή κόσμο των ιδεών. Υποστήριξε  μάλιστα πως ο κόσμος είναι κατασκευασμένος από πέντε στερεά που σήμερα ονομάζονται Πλατωνικά στερεά και είναι τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα: το τετράεδρο(ή τριγωνική πυραμίδα), το εξάεδρο (ή κύβος), το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Την άποψη αυτή για τον κόσμο δεχόταν και ο Αριστοτέλης, αλλά και πολύ μετά από αυτόν οι Αλχημιστές και άλλοι.

Οι Έλληνες γεωμέτρες προσέγγιζαν την γεωμετρία σαν επιστήμη καθαρής γνώσης και έπρεπε να βρίσκουν αποδείξεις εφαρμοζόμενες με τον κανόνα και τον διαβήτη, σύμφωνα με τις επιταγές που καθορίστηκαν από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που αποτελείται από 13 τόμους. Δημιούργησαν έτσι την αποδεικτική θεωρητική γεωμετρία , σε αντίθεση με την εμπειρική γεωμετρία που επικρατούσε, εξέλιξη η οποία κορυφώνεται στην Αλεξανδρινή εποχή. Η γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος των μαθηματικών που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση από τον Ευκλείδη στα "Στοιχεία" του, και δικαιολογημένα ονομάζεται "Ευκλείδεια γεωμετρία". Το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, δηλαδή ότι θα πρέπει να δεχθούμε αξιωματικά ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, γιατί δε μπορούμε να το αποδείξουμε.

Η γεωμετρία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο φιλοσοφικό σύστημα του Καντ, ο οποίος μιλούσε για καθαρή εποπτεία, η οποία ουσιαστικά ήταν γεωμετρικά σχήματα. Ειρωνικά, μέσω της γεωμετρίας δείχθηκαν εποπτικά τα σφάλματα αυτού του συστήματος. Έτσι, προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν. Στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλος αντίστοιχα.

Σύγχρονες αντιλήψεις της γεωμετρίας

Προβολή επιπέδου υπερβολικής γεωμετρίας στον τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο.

Η σημερινή επιστήμη αποδέχεται την ευκλείδεια γεωμετρία θεωρώντας την ως τη πιο βασική και εφαρμόσιμη μορφή της. Επιπλέον, υπάρχουν και δύο προαναφερθείσες μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ονομάζονται και απόλυτες γεωμετρείες και μπορούν να απεικονιστούν στην ευκλείδεια, αλλά έχουν αναπτυχθεί και άλλες. Παράδειγμα μιας άλλης γεωμετρίας είναι ο τετραδιάστατος κατά τα άλλα ευκλείδειος χώρος.

Η μελέτη της γεωμετρίας γίνεται πλέον με συστήματα αναφοράς και με βάση την έννοια του διανύσματος. Με αυτόν τον τρόπο πολλές γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να αλγεβροποιηθούν, δηλαδή να γίνουν αριθμητικές σχέσεις και να μελετηθούν αλγεβρικά. Αυτή η μελέτη της γεωμετρίας είναι ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών και ονομάζεται αναλυτική γεωμετρία.

Η γεωμετρία είναι χρήσιμη σε άλλους κλάδους των μαθηματικών και επιστημών, όπως είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, η Άλγεβρα και η Φυσική.

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών και αναλυτικής γεωμετρίας

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών

Σε όλες σχεδόν τις γεωμετρίες ορίζονται αρχικά τρεις έννοιες το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Για να γίνουν αντιληπτές η σφαιρική και η υπερβολική γεωμετρία συνήθως προβάλλουμε ένα επίπεδό τους στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ενώ οι ιδιότητες της ευκλείδειας γεωμετρίας θεωρούνται γνωστές. Ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύστημα αναφοράς, για να κατασκευάσουμε την αντίστοιχη αναλυτική γεωμετρία.

• Επίπεδο: Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδεια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα σελοειδές σχήμα για την υπερβολική. Η παραγωγή του σελοειδούς διαφαίνεται στο σχήμα αριστερά. Όλα τα σχήματα της κάθε γεωμετρίας τα θεωρούμε για λόγους ευκολίας πάνω σε αυτές τις επιφάνειες. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί.

• Σημείο: Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.

• Ευθεία: Η ευθεία της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμιά παράλληλος, ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.

• σύστημα αναφοράς: Στην ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.

Με βάση τα παραπάνω μπορούν να οριστούν στην κάθε γεωμετρία τα βασικά γεωμετρικά σχήματα όπως τα τρίγωνα και τα ευθύγραμμα τρίγωνα και να μελετηθούν οι ιδιότητές τους.

Γεωμετρικές κατασκευές

Κύριο λήμμα: Compass and straightedge constructions

Οι αρχαίοι επιστήμονες επικεντρώθηκαν αρκετά στη κατασκευή γεωμετρικών αντικειμένων τα οποία είχαν περιγραφθεί κατά κάποιο τρόπο. Κλασσικά όργανα επέτρεψαν τη γεωμετρική κατασκευή. Πάρα ταύτα, κάποια προβλήματα εξελίχθηκαν σε πολύ δύσκολα έως και απίθανα να λυθούν.

Μοντέρνα γεωμετρία

Μοντέρνα γεωμετρία είναι ο τίτλος του γνωστού βιβλίου από τον Dubrovin, τον Novikov και τον Fomenko (πρώτη έκδοση το 1979, Ρωσία). Σε περίπου 1000 σελίδες, το βιβλίο έχει έναν στόχο: γεωμετρικές κατασκευές ποικίλων ειδών. Στο δεύτερο μισό του αιώνα μετά τη δημοσίευση του βιβλίου για διαφορετική γεωμετρία, αλγεβρική γεωμετρία και συμπλεκτική γεωμετρία, παρουσιάζεται κυρίως η μοντέρνα γεωμετρία, με πολλές διασυνδέσεις με άλλα μέρη των μαθηματικών και της φυσικής.