Τετάρτη 10 Απριλίου 2013

Η Νο.1 δουλειά στην Αμερική: Μαθηματικός

Δημοσιεύτηκε στη Wall Street Journal στις αρχές του μήνα ένα άρθρο με τίτλο «Doing the Math to Find the Good Jobs» το οποίο τοποθετεί το επάγγελμα του «Μαθηματικού» στην κορυφαία θέση, της λίστας των καλύτερων θέσεων εργασίας στις ΗΠΑ. Τα επαγγέλματα των «Αναλογιστή» και «Στατιστικολόγου» πήραν τη δεύτερη και την τρίτη θέση, αντίστοιχα. Οι βαθμολογίες, που έγιναν από το CareerCast.com, βασίζονταν στο περιβάλλον εργασίας, στο εισόδημα, στις προοπτικές απασχόλησης, στο παράγοντα χειρωνακτικής εργασίας και στο άγχος. Σύμφωνα με τη μελέτη, ο μέσος ετήσιος μισθός για τους μαθηματικούς είναι $ 94.160. Στην τελευταία θέση(200η) της μελέτης βρέθηκε το επάγγελμα των «ξυλοκόπων».
Τώρα βέβαια θα μου πείτε και με το δίκιο σας, «Ας έρθει στην Ελλαδίτσα το CareerCast.com να κάνει την ίδια μελέτη και την πρώτη θέση με διαφορά θα έχει το επάγγελμα του «πολιτικού», του «απαγωγέα» και του «επικεφαλής μονής»…
Εντάξει εντάξει το ξέρω, δεν είμαστε ΗΠΑ, αλλά θεωρώ οτι για όσους ενδιαφέρονται για μεταπτυχιακές σπουδές ή δουλειά στο εξωτερικό και ειδικά στις ΗΠΑ η είδηση θα είναι ευχάριστη.
Σημείωση: Ο αναλογιστής θεωρείται παραδοσιακά ως ένας επαγγελματίας με ενδελεχή εκπαίδευση στα μαθηματικά, ικανός να εφαρμόσει σε βάθος τις θεωρίες των πιθανοτήτων και της στατιστικής, σε θέματα που άπτονται χρηματοοικονομικού κινδύνου. ασφαλιστικών και κοινωνικών προβλημάτων.
Όπως διατυπώνεται από την «Αμερικανική Ένωση Αναλογιστών» American Society of Actuaries (SOA), ως Αναλογιστής θεωρείται ο επαγγελματίας που είναι σε θέση να αναγνωρίζει και να αναλύει τις επιπτώσεις μελλοντικών ενδεχομένων, με σκοπό την εκτίμηση των οικονομικών συνεπειών εξαιτίας της επίδρασης μελλοντικών αβέβαιων γεγονότων. Για τον λόγο αυτό, ο αναλογιστής θα πρέπει να είναι ικανός να ανασυγκροτεί μία όσο το δυνατό περισσότερο ακριβή εικόνα του κοινωνικοδημογραφικού, πολιτικού, νομικού και οικονομικού περιβάλλοντος εντός του οποίου διακανονισμοί τέτοιου είδους λαμβάνουν χώρα, ως και μία κατανόηση της βαθύτερης φύσης των αλλαγών ενός τέτοιου περιβάλλοντος.

από :http://www.atopo.gr/

Τρία 'Αλυτα Προβλήματα

1. Το Δήλιο πρόβλημα
2. Η Τριχοτόμηση γωνίας
3. Ο Τετραγωνισμός του κύκλου

1. Το Δήλιο πρόβλημα

Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Το δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα. Πανελλήνια γνωστό όμως έγινε το πρόβλημα αυτό όταν αναφέρθηκε από το μαντείο του Δήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το μαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιμό που μάστιζε το νησί Δήλο, απάντησε ότι τούτο θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα "Δήλιο πρόβλημα".

Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε μάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6 αι. μ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη και τη μέθοδο που αυτός χρησιμοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεμβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους :

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470-400 π.χ)
Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-365 π.χ)
Ο Πλάτων (427-347 π.χ)
Ο Μέναιχμος (375- π.χ)
Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)
Ο Ερατοσθένης (276-194 π.χ)
Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ)
Ο Νικομήδης (έζησε γύρω στο 200 π.χ)
Ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (1ος -2ος αι. μ.χ)
Ο Διοκλής (1ος αι. π.χ)
Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)

2. Η Τριχοτόμηση γωνίας

Σήμερα δεν γνωρίζουμε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουμε όμως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα μετά το Δήλιο και τον τετραγωνισμό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία μας είναι γνωστή η σχέση

στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στη x³-3αx²-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόμησης. Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως αυτό αποδείχθηκε μόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο.

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.

Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι :

Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ)
Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)
Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ)
Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)

3. Ο Τετραγωνισμός του κύκλου

Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.

Αρχικά "τετραγωνίστηκαν" δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το τρίτο από τα μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.

Η απαίτηση του προβλήματος είναι να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοσμένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούμενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση

, όπου π ο λόγος του μήκους της περιφέρειας προς το μήκος της διαμέτρου του κύκλου. Παρόλο που εμπειρικά είχε διαπιστωθεί ότι ο λόγος π της περιφέρειας προς τη διάμετρο διατηρείται σταθερός, ωστόσο η κατασκευή αυτού του λόγου και όταν ακόμη η Γεωμετρία εφοδιασμένη με την απόδειξη είχε γίνει επιστήμη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π μεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όμως πραγματοποιημένες σύμφωνα με την απαίτηση του "χάρακα και του διαβήτη" που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν μεγαλειώδεις προσπάθειες υπολογισμού της τιμής του π, οι οποίες με πρωτεργάτη τον Αρχιμήδη, έδωσαν ένδοξα αποτελέσματα.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχμου.

Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :

O Αρχιμήδης (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της "Έλικας".
Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν "ιδίως τετραγωνίζουσα".
Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) με την καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος "αδελφή της κοχλοειδούς" που ήταν όμως ίδια με την καμπύλη του Νικομήδη.
Ο Κάρπος με κάποια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά "εκ διπλής κινήσεως προερχομένη".

Και άλλοι πολλοί !!

Τετάρτη 3 Απριλίου 2013

Έλλειψη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Σχήμα έλλειψης με τα βασικά της στοιχεία.
Ε1-Ε2: Εστίες έλλειψης, ΔΒ: Μεγάλος ή μέγας άξονας, ΑΓ: μικρός άξονας, Ο: (η τομή των δύο αξόνων ή το μέσον Ε1-Ε2), το Κέντρο έλλειψης.

Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και προκύπτει από την τομή ενός κώνου με επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του. Μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, όπως προκύπτει στην ειδική περίπτωση που η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του είναι κύκλος με κέντρο επί του άξονα.
Συγκεκριμένα, ας είναι $E_1$ , $E_2$ δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και $\alpha>\gamma$ ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα δύο σταθερά σημεία $E_1, E_2$ είναι σταθερό και ισούται με $2\alpha>2\gamma$ .

Βασικές έννοιες

Τα σημεία $E_1, E_2$ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.
Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος $E_1 E_2$ ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.
Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.
Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β, $\beta^2=\alpha^2-\gamma^2$ . Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο $E_1 AO$ (βλ. σχήμα).
Αν καλέσουμε γ την απόσταση Ε1-Ο που είναι ίση με την Ο-Ε2 και α την απόσταση ΔΟ, που είναι ίση με την ΟΒ, τότε ο λόγος γ/α = ε ονομάζεται εκκεντρότητα ή εκκεντρότης της έλλειψης.
Η εκκεντρότητα της έλλειψης, $\varepsilon=\gamma/\alpha,\; 0\leq\varepsilon<1$ δηλώνει πόσο 'στενή' 'η 'πλατιά' είναι η έλλειψη.

Για $\varepsilon=0$ έχουμε κύκλο, ενώ για ε κοντά στο 1 μία 'μακρόστενη' έλλειψη. Συνεπώς ο κύκλος είναι έλλειψη με 0 εκκεντρότητα.

Εξισώσεις της έλλειψης

Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της είναι πάνω στους άξονές του.
Σε Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζεται ως:

$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}=1$

με $\,\beta^2=\alpha^2-\gamma^2$ .
Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι:

$x=\alpha\cos t,\quad y=\beta\sin t.$

με παράμετρο το $t,\;0\leq t<2\pi$ .
Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:

$\rho=\frac{\alpha^2-\gamma^2}{\alpha-\gamma\cos\phi}.$

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

$\,ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν $\,4ac-b^2>0.$ Για $\,b=0$ έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για $b\neq0$ έχουμε και στροφή.

Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο $P=(p_1,p_2)\neq(0,0)$ του επιπέδου. Η ευθεία

$\frac{p_1x}{\alpha^2} + \frac{p_2y}{\beta^2}=1$

ονομάζεται πολική ευθεία του $P$ . Το $P$ ονομάζεται πόλος της ευθείας.

Αν το $P$ είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο $P$ .

Έστω $P$ ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του $P$ είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

Έστω $P$ ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τότε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

Ιδιότητες

Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης $P$ . Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία $E_1PE_2$ . Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρήσουμε την εστία $E_1$ ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την $E_1$ και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την $E_2$ .

Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα $\alpha$ σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία $\phi\in(0,2\pi)$ και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθή προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους $2\alpha$ και $2\alpha\cos\phi$ .
Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου.

Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.
Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

Χαρακτηριστικά μεγέθη

To εμβαδό της έλλειψης ισούται με

$\,A=\pi\alpha\beta.$

Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με

$C=4\alpha\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ dt.$

To ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Θεωρία αριθμών

Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Θεωρητικών μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, καθώς και με προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή.
Ανάλογα από το είδος των προβλημάτων και από τις μεθόδους επίλυσης τους η Θεωρία Αριθμών χωρίζεται σε επιμέρους κλάδους.
Η Θεωρία Αριθμών, από τη σκοπιά του ευρύτερου κλάδου της Άλγεβρας, συχνά αποκαλείται ως Αριθμητική.
Σημαντικοί κλάδοι της θεωρίας αριθμών είναι η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, η Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρική Θεωρία Αριθμών, η Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και η Πιθανοθεωρητική Θεωρία Αριθμών.
Η Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών ασχολείται με τη μελέτη του δακτυλίου των ακεραίων αριθμών και επεκτάσεων του χωρίς όμως τη χρήση εργαλείων από άλλους κλάδους των μαθηματικών.
Σημαντικά θεωρήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι το μικρό θεώρημα του Φερμά, το θεώρημα του Όιλερ το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής.
Βασικό αντικείμενο μελέτης της θεωρίας αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί.
Η θεωρία αριθμών βρίσκει ευρεία εφαρμογή στην Κρυπτογραφία.
Ο Gauss, ο γνωστός γίγαντας μαθηματικός, ανέφερε ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών.

Κριτήρια διαιρετότητας

Η μελέτη της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών μπορεί να μας δώσει κάποια κριτήρια διαιρετότητας για τους ακεραίους. Για παράδειγμα ένας αριθμός είναι άρτιος (διαιρείται με το 2) αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο (0, 2, 4, 6, 8). Αντίστοιχα ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, τότε το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για το 9.
Τα κριτήρια αυτά μας βοηθάνε να κάνουμε υπολογισμούς χρήσιμους στη Θεωρία Αριθμών ταχύτερα.

Τετάρτη 20 Μαρτίου 2013

Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΙΝΕΖΩΝ

2852π.Χ. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 60. Έκαναν αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Επιπλέον, γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις και αόριστες εξισώσεις.

Από το 3000-2000 π.Χ. οι Κινέζοι πραγματοποιούν την πραγματεία των μεταθέσεων (yang-ying) και την πραγματεία της αριθμητικής σε 9 κεφάλαια η οποία τους βοήθησε στην τοπογραφία, την φορολόγηση αλλά και στον υπολογισμό του εμβαδού του κύκλου, του τριγώνου και των τραπεζίων.Το έργο το οποιο αναφερεται στην αριθμητικη σε 9 κεφάλαια είναι το τζίου-τζαν σούα-σου και περιέχει επίσης προβλήματα που σχετίζονται με γραμμίκες εξισώσεις, το πυθαγόρειο τρίγωνο, τις τετραγωνικές και κυβικές ρίζες και τη χρήση κανόνατης λαθεμένης παραδοχής.

Επίσης την ίδια εποχή οι κινέζοι κάνουν την πρώτη τους προσέγγιση προς τον υπερβατικό αριθμό π. Τον 3ο αιώνα οΚινέζος μαθηματικός Λιού Χούι βελτιώνει το αρχικό ελληνικό επιτεύγμα κατά ένα δεκαδικό ψηφίο: 3,14159. Η καλύτερη προσεγγιση όμως του π από τους κινέζους έγινε τον 5ο μ.Χ. αιώνα από τον μεγάλο αστρολόγο, μαθηματικό και μηχανικό Zu Chongzhi και τον γιό του ZuGengzhi. Οι δυό τους έγραψαν ένα μαθηματικό έργο με τίτλο ZhuiShu, το οποίο περιείχε τύπους για τον όγκο της σφαίρας, τις κυβικές εξισώσεις και την ακριβή τιμή του π. Ο ZuChongzhi λοιπόν και ο ZuGengzhi χρησιμοποίησαν εγγεγραμμένα πολύγωνα με 24.576 πλευρές , προκειμένου να προσεγγίσουν το π. Είναι πιθανό να ξεκίνησαν τη μελέτη τους με ένα εξάγωνο, και στη συνέχεια με 12 διαδοχικούς διπλασιασμούς πλευρών να έφτασαν στο 24.576-γωνο.
Πράγματι είναι:                                                                         6 Χ 212 = 6 Χ 4096 = 24576
Κατέληξαν έτσι στην τιμή:                                                      π = 355/113 = 3,14159292
Με δεδομένο ότι η αποδεκτή σήμερα τιμή του π είναι:    π= 3,14159265

Κατά το 1100 π.Χ. γράφτηκε το πρώτο αληθινό μαθηματικό κείμενο που διασώθηκε, το Τζού-Μπέι, το οποίο περιέχει υλικό σχετικά με τα κλάσματα και ημερολογιακούς υπολογισμούς. Γνωρίζουμε πως οι κινέζοι δεν είχαν το μηδέν στο αριθμητικό τους σύστημα αν και κατά τον 13ο αιώνα το μηδέν αρχιζει να εμφανίζεται σε κάποια γραπτά τους αφού επηρρεάστηκαν από τους Μάγια και τους Ευρωπαίους.Το μηδεν εισάχθηκε από τον Qin Jiushao
Οι Κινέζοι επίσης, ήταν αυτοί που επινόησαν τους αρνητικούς αριθμούς αλλά δεν αντιμετώπιζαν προβλήματα στους υπολογισμούς θετικών και αρνητικών αριθμών αφού χρησιμοποιούσαν τον άβακα με δύο ομάδες ράβδων (κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς).
Στην Κίνα χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό σύστημα που είχε ξεχωριστές λέξεις για τους αριθμούς από το 1-9.Οι μεγάλοι αριθμοί σχηματίζονταν με συνδυασμό των αριθμητικών λέξεων μικρότερων αριθμών.
Το 2200 π.Χ. λέγεται πως ο αυτοκράτορας Yu επινόησε το μαγικο τετραγωνο. Το μαγικό τετράγωνο ήταν μια διαταξη από 3 οριζόντια και 3 κάθετα κουτάκια μέσα στα οποία βρισκοταν ένας αριθμός.Οι αριθμοι αυτοί όταν αθροίζονταν είτε κάθετα είτε οριζόντια ειτε διαγώνια εδιναν το ίδιο αποτελεσμα. Ο αυτοκράτορας Yu παρατήρησε μια χελώνα με ένα ξεχωριστό διάγραμμα στο καβούκι της κι έτσι επινοησε το μαγικο τετράγωνο. Ο αυτοκράτορας αποφάσισε να ονομάσει το ασυνήθιστο αυτό αριθμητικό μοτίβο lo shu. Ωστόσο, το πρώτο μαγικό τετράγωνο που έχει καταγραφεί εμφανίστηκε στο βιβλίο του πρώτου αιώνα Da-Dai Liji. Τα μαγικά τετράγωνα στην Κίνα χρησιμοποιήθηκαν σε διάφορα πεδία έρευνας, συμπεριλαμβανομένων της αστρολογίας, της μαντείας και της κατανόησης των φυσικών φαινομένων και της ανθρώπινης συμπεριφοράς. Επίσης τα μαγικά τετράγωνα διείσδυσαν και σε άλλους τομείς της κινέζικης κουλτούρας. Για παράδειγμα, πολλά πορσελάνινα πιάτα που βρίσκουμε σε μουσεία και ιδιωτικές συλλογές, είναι διακοσμημένα με αραβικές επιγραφές και μαγικά τετράγωνα.
Οι κινέζοι ασχολήθηκαν και με εξισώσεις 3ου βαθμού γύρω στο 400-800 μ.Χ.
Οι κινέζοι μαθηματικοί Yang Hui, Qin Jiushao, Zhu Shijie χρησιμοποιούσαν την Horner-Ruffini μέθοδο εξακόσια χρόνια νωρίτερα για να λύσουν ορισμένα είδη των ταυτόχρονων εξισώσεων, τετραγωνικές ρίζες, κυβικά, και τεταρτοβάθμιες εξισώσεις. Ο Yang Hui ήταν επίσης το πρώτο πρόσωπο στην ιστορία που ανακάλυψε και αποδείξε το "τρίγωνο του Pascal".

Στην Κίνα υπήρχαν 4 διαφορετικά γραπτά συστήματα.

Τα εμπορικά,

τα γραπτά,

τα επίσημα και

τα ραβδόμορφα αριθμητικά ψηφία.

Πολιτισμοί και Μαθηματικά

Βαβυλωνιακή Άλγεβρα

Η πλάκα «Plimpton 322»,(1900 – 1600 π.X. ) η πλάκα αυτή είναι ένας κατάλογος Πυθαγορείων τριάδων

Οι μαθηματικές πλάκες που έχουν μεταφραστεί περιέχουν έναν πολύ μεγάλο αριθμό προβλημάτων, τα οποία στο σύνολό τους αναφέρονται σε θέματα της καθημερινής ζωής, της οικονομίας, της γεωργίας και της παραγωγής. Υπάρχουν για παράδειγμα προβλήματα σχετικά με την μέτρηση αποστάσεων,τον υπολογισμό του βάρους σωμάτων, τον υπολογισμό του εργατικού δυναμικού και του χρόνου εργασίας, τη μέτρηση των διαστάσεων και της επιφάνειας αγροτικών εκτάσεων σχήματος ορθογωνίου ή τετραγώνου. Υπάρχουν επίσης προβλήματα που αναφέρονται στην κατασκευή καναλιών, στην παρασκευή ψωμιού ή μπύρας και άλλα που ζητούν τον υπολογισμό δύο αντίστροφων αριθμών όταν είναι γνωστό το άθροισμα ή η διαφορά τους.

Προβλήματα θεωρητικού χαρακτήρα δεν υπάρχουν στα βαβυλωνιακά Μαθηματικά.
Με χρήση σημερινής ορολογίας και συμβολισμού, η λύση των βαβυλωνιακών προβλημάτων οδηγεί στη λύση εξισώσεων και συστημάτων πρώτου και δευτέρου βαθμού ειδικών μορφών, καθώς και στη λύση εξισώσεων μεγαλύτερου βαθμού, συγκεκριμένων όμως κατηγοριών. Οι Βαβυλώνιοι δεν γνώριζαν αλγεβρικές μεθόδους και δεν είχαν αλγεβρικούς συμβολισμούς ούτε γενικούς τύπους τους οποίους μπορούσαν να εφαρμόσουν κατά τη λύση προβλημάτων.

Όλα τα
προβλήματα είναι πρακτικά και συγκεκριμένα .

Μαθηματικά

Σελίδες